Friday, 6 November 2015

Bagi matholic, mungkin istilah segitiga pascal bukan sesuatu hal yang asing lagi. Segitiga pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga (https://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal). Segitiga pascal diperkenalkan kali oleh Blaise pascal, meskipun beradad-abad sebelumnya sudah banyak dikaji oleh ilmuwan-ilmuwan India, Persia, Cina, dan Italia. Berikut ini adalah beberapa fakta unik seputar segitiga pascal.

Jumlah bilangan dari tiap barisnya adalah 20, 21, 22, 23, ... 
Perhatikan pola bilangan segitiga berikut ini!
Jika kita perhatikan, jumlah bilangan pada baris pertama adalah 1= .
Jumlah bilangan pada baris kedua adalah 1+1= 2= 21.
Jumlah bilangan pada baris ketiga adalah 1+2+1= 4= 22.
Jumlah bilangan pada baris ketiga adalah 1+3+3+1= 8= 23.
dst.
Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah 1+ ...+1= 2n-1

Segitiga pascal digunakan untuk menentukan probabilitas pelemparan n buah koin.
Selain aplikasi dalam bentuk bilangan, segitiga pascal juga dapat diaplikasikan dalam ilmu probabilitas atau peluang, yakni untuk menentukan ruang sampel, titik sampel, dan peluang dari pelemparan n buah koin.
Perhatikan gambar segitiga pascal diatas!
Jumlah bilangan pada baris kedua adalah 1+1= 2, yakni sama dengan jumlah ruang sampel pada pelemparan sebuah koin. 1 merupakan titik sampel dari sebuah angka dan 1 merupakan titik sampel dari sebuah gambar.
Jumlah bilangan pada baris ketiga adalah 1+2+1= 4, yakni sama dengan jumlah ruang sampel pada pelemparan dua buah koin. 1 merupakan titik sampel dari 2 buah angka, 2 adalah titik sampel dari sebuah angka dan sebuah gambar, dan 1 adalah titik sampel dari dua buah gambar.
Jumlah bilangan pada baris keempat adalah 1+3+3+1= 8, yakni sama dengan jumlah ruang sampel pada pelemparan tiga buah koin. 1 merupakan titik sampel dari 3 buah angka, 3 adalah titik sampel dari dua angka dan sebuah gambar, 3 adalah titik sampel dari sebuah angka dan dua buah gambar dan 1 adalah titik sampel dari 3 buah gambar.
Jumlah bilangan pada baris kelima adalah 1+4+6+4+1= 16, yakni sama dengan jumlah ruang sampel pada pelemparan empat buah koin. 1 merupakan titik sampel dari 4 buah angka, 4 adalah titik sampel dari tiga angka dan sebuah gambar, 6 adalah titik sampel dari dua angka dan dua buah gambar, 4adalah titik sampel dari sebuah angka dan tiga buah gambar dan 1 adalah titik sampel dari 4 buah gambar.
Ketentuan ini perlaku seterusnya hingga n buah koin.

Segitiga pascal digunakan untuk menentukan banyak himpunan bagian 
Dalam ilmu himpunan, segitiga pascal juga digunakan untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari sebuah himpunan.
Jumlah bilangan pada baris kedua adalah 1+1= 2, yakni sama dengan banyak himpunan bagian pada himpunan yang beranggotakan satu anggota. 1 adalah  banyak himpunan kosong dan 1 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan satu anggota.
Jumlah bilangan pada baris ketiga adalah 1+2+1= 4, yakni sama dengan banyak himpunan bagian pada himpunan yang beranggotakan dua anggota. 1 adalah banyak himpunan kosong, 2 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan satu anggota, dan 1 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan dua anggota.
Jumlah bilangan pada baris keempat adalah 1+3+3+1= 8, yakni sama dengan banyak himpunan bagian pada himpunan yang beranggotakan tiga anggota. 1 adalah banyak himpunan kosong, 3 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan satu anggota, 3 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan dua anggota, dan 1 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan tiga anggota.
Jumlah bilangan pada baris kelima adalah 1+4+6+4+1= 16, yakni sama dengan banyak himpunan bagian pada himpunan yang beranggotakan empat anggota. 1 adalah banyak himpunan kosong, 4 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan satu anggota, 6 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan dua anggota, 4 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan tiga anggota, dan 1 adalah banyak himpunan bagian yang beranggotakan empat anggota.

Segitiga pascal digunakan untuk menentukan lintasan terpendek.
Hal menarik terakhir dari segitiga pascal yakni konsep segitiga pascal dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, yakni untuk menentukan lintasan terpendek dari sebuah jalan. Contoh:
Perhatikan gambar di bawah ini!












Seorang wisatawan ingin mengunjungi taman bermain terbaru di sebuah kota. Ketika sampai di depan gerbang, dia harus melewati perumahan untuk sampai ke taman bermain tersebut. Banyak lintasan terpendek yang dapat dilalui wisatawan adalah ....
Penyelesaian:
Untuk menentukan banyak lintasan terpendek agar sampai ke taman bermain, kita gunakan konsep segitiga pascal sebagai berikut:











Berdasarkan perhitungan diatas, maka banyak lintasan terpendek yang dapat dilalui adalah 10 lintasan.
Itulah beberapa fakta unik seputar segitiga pascal. Semoga bermanfaat!

0 comments: